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2013年北京数学第25题

对于平面直角坐标系xoy中的点和⊙C，定义：若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=600，则称P为⊙O的关联点，已知D(1/2,1/2),E(0,-2),F(2√3,0)

(1)当⊙O半径为1时

①点D,E,F中⊙O的关联点是____________;

②过F作直线交y于正半轴的点G，且∠GFO=300,若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若直线EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

解：

(1)①D,E

②以O为圆心，2为半径做圆，设T是该圆上的任意一点，过T做小⊙O（半径为1）的切线，N,M为切点，则∠TMN=∠TNM=90°,OT=2MO,故∠OTM=∠OTN=30°所以∠NTM=60°,因此T是小⊙O的关联点，如果T’是大⊙（半径为2）内的点，则∠NT’M>60°,因此T’是小⊙O的关联点，由此小⊙O的关联点在大⊙（半径为2）内及其大⊙上。

OD=OFtan30°=2√3X1/√3=2,故G是小⊙O的关联点，令大圆与GF相交于K，则∠OGF=90°-30°,OG=OK，故⊿GOK是等边三角形，所以∠KOF=90°-60°=30°=∠KFO.

即三角形OKF等腰,K点横坐标为OF/2=2√3/2=√3,GK线段所有点是小⊙O的关联点，所以：0≤m≤√3。

（2）⊿OEF与⊿OGF关于x轴对称，所以FG=FE，所以⊿FEG等边，线段GF上的所有点是小圆O的关联点，将GF连带小圆O顺时针旋转旋转60°，小圆O变为小圆O’,则EF线段所有点是小圆O’的关联点，如果小圆O’圆心不变，半径变小，则E,F都不是O’的关联点，如果，小圆O’半径变大，EF都是关联点，故半径范围为r≥1.

2014年北京数学第25题

对函数给出如下定义：若存在实数M>0,对任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数。在所有的满足条件的M中，最小值称为这个函数的边界值。

（1）分别判断函数y=1/x（x>0）和y=x+1（-4≤x≤2）是不是有界函数？若有界，求其边界值。

（1）y=-x+1（a≤x≤b，a<b）的边界值为2，求b的取值范围；

（2）将函数y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的图像向下平移m个单位，得到函数的边界值为t，当m在什么范围时间，满足3/4≤t≤1。

解：（1）y=1/x无界

y=x+1。。。。。。。（1）（-4≤x≤2）有界

因为（1）递增，

ymax=2+1=3，ymin=-4+1=-3,所以边界值为3

（2）y=-x+1。。。。。。。（2）递减

a=-1时，ymax=-（-1）+1=2，而只要b≤3,都有

ymin=-b+1≤-3+1=-2,此时-1≤b≤2，

当a>-1时ymax<2,故需b=3,才能使得边界值为2，此时b=2。

（3）下移动后，y=x2变为y=x2-m,顶点（0，-m），边界值小于等于1，所以m≤1

另一个可能的边界值在x=-1时取到，即为1-m.

当1-m≥m时m≤1/2，且3/4≤1-m≤1=>0≤m≤1/4.

1-m<m时3/4≤m≤1.

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